Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил – работа на замкнутой траектории равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести, гравитационная сила, сила упругости и другие силы.

Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила тяги и другие силы.

Силовым полем называется физическое пространство, удовлетворяющее условию, при котором на точки механической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения точек и времени. Силовое поле. силы которого не зависят от времени, называется стационарным. Стационарное силовое поле называется потенциальным, если существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так: X i =∂υ/∂x i ; Y i =∂υ/∂y i ; Z i = ∂υ/∂z i.

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы

получить значение в точке нужно произвести предельный переход:

Так как может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от по :

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

Однако из-за взаимодействия точек А и В производная отлична от нуля. Как уже указывалось выше, механика не отвечает на вопрос о том, почему наличие точки В оказывает воздействие на движение точки А, а исходит из того факта, что такое воздействие имеет место, и отождествляет результат этого воздействия с вектором . Воздействие точки В на движение точки А называют силой и говорят, что точка В действует на точку А с силой, изображаемой вектором

Именно это равенство (используя термин «сила») обычно называют вторым законом Ньютона.

Пусть, далее, та же точка А взаимодействует с несколькими материальными объектами . Каждый из этих объектов, если бы он был один, обусловил бы возникновение силы соответственно. При этом постулируется гак называемый принцип независимости действия сил: сила, обусловленная каким-либо источником, не зависит от наличия сил, обусловленных иными источниками. Центральным при этом является предположение о том, что силы, приложенные к одной и той же точке, могут складываться по обычным правилам сложения векторов и что полученная таким образом сила эквивалентна исходным. Благодаря предположению о независимости действия сил множество воздействий, приложенных к материальной точке, можно заменить одним воздействием, представленным соответственно одной силой, которая получается геометрическим гуммированием векторов всех действующих сил.

Сила - результат взаимодействия материальных объектов. Это знчит, что если из-за наличия точки В, то и, наоборот, из-за наличия точки А. Соотношение между силами и устанавливается третьим постулатом (законом) Ньютона. Согласно этому постулату при взаимодействии между материальными объектами силы и равны по величине, действуют вдоль одной прямой, но направлены к противоположные стороны. Этот закон формулируется иногда кратко так: «любое действие равно и противоположно противодействию».

Утверждение это - новый постулат. Он не возникает как-либо из предыдущих исходных предположений, и, вообще говоря, можно построить механику без этого постулата или с иной его формулировкой.

При рассмотрении системы материальных точек удобно разделить все силы, действующие на точки рассматриваемой системы, на два класса. К первому классу относят силы, которые возникают благодаря взаимодействиям материальных точек, входящих в данную систему. Силы такого рода называются внутренними. Силы, возникающие благодаря воздействию на материальные точки рассматриваемой системы других материальных объектов, не включенных в эту систему, называют внешними.

2. Работа силы.

Выражая скалярные произведения через проекции сомножителей на оси координат, получаем

(18)

Если проекции сил и приращения координат выражены через один и тот же скалярный параметр (например, через время t или - в случае системы, состоящей из одной точки, - через элементарное перемещение ), то величины в правых частях равенств (17) и (18) могут быть представлены в виде функций от этого параметра, умноженных на его дифференциал, и могут быть проинтегрированы по этому параметру, например по t в пределах от до . Результат интегрирования обозначается и называется полной работой силы и полной работой сил системы за время соответственно.

При подсчете элементарной и полной работы всех сил системы, , должны быть приняты во внимание все силы, как внешние, так и внутренние. Тот факт, что внутренние силы попарно равны и противоположно направлены, оказывается несущественным, так как при подсчете работы играют роль еще и перемещения точек, и поэтому работа внутренних сил, вообще говоря, отлична от нуля.

Рассмотрим частный случай, когда величины в правых частях равенств (17) и (18) могут быть представлены как полные дифференциалы

В этом случае также естественно принять введенные выше обозначения и определения:

Из равенств (21) и (22) следует, что в тех случаях, когда элементарная работа является полным дифференциалом некоторой функции Ф, работа на любом конечном интервале зависит лишь от значений Ф в начале и в конце этого интервала и не зависит от промежуточных значений Ф, т. е. от того, каким образом происходило перемещение.

3. Силовое поле.

Рассмотрим сначала случай, когда изучается движение одной точки и поэтому рассматривается только одна сила, зависящая от положения точки. В таких случаях вектор силы связывают не с точкой, на которую осуществляется воздействие, а с точками пространства. Предполагается, что с каждой точкой пространства, определяемой в некоторой инерциальной системе отсчета, связан нектор, изображающий ту силу, которая действовала бы на материальную точку, если бы последняя была помещена в эту точку пространства. Таким образом, условно считается, что пространство всюду «заполнено» векторами. Это множество векторов называется силовым полем.

Говорят, что силовое поле стационарно, если рассматриваемые силы не зависят явно от времени. В противном случае силовое поле называется нестационарным.

Поле называется потенциальным, если существует такая скалярная функция координат точки (и, быть может, времени) , что частные производные от этой функции по и равны проекциям силы F на оси х, у и z соответственно:

В связи с тем, что сила F есть функция точки пространства, т. е. координат , и, может быть, времени, ее проекции также являются функциями переменных .

Функция , если она существует, называется силовой функцией. Разумеется, силовая функция существует не для всякого силового поля, и условия ее существования, т. е. условия того, что поле потенциально, еыясняются в курсе математики и определяются равенствами

При исследовании движения N взаимодействующих точек необходимо учитывать наличие N действующих на них сил . В этом случае вводят -мерное пространство координат точек . Задание точки этого пространства определяет расположение всех N материальных точек изучаемой системы. Далее вводят в рассмотрение -мерный вектор с координатами и условно считают, что -мерное пространство всюду плотно заполнено такими векторами. Тогда задание точки этого -мерного пространства определяет не только положение всех материальных точек относительно исходной системы отсчета, но и все силы, действующие на материальные точки системы. Такое -мерное силовое поле называется потенциальным, если существует силовая функция Ф от всех координат такая, что

Если силы могут быть представлены в виде суммы двух слагаемых

так, что слагаемые удовлетворяют соотношениям (24), а слагаемые им не удовлетворяют, то называются потенциальными, непотенциальными силами.

Система материальных точек называется консервативной, если существует силовая функция , не зависящая явно от времени (силовое поле стационарно) и такая, что все силы, действующие на точки, удовлетворяют соотношениям (24).

Элементарную работу сил консервативной системы

удобно представить в ином виде, выразив скалярные произведения через проекции векторов-сомножителей (формула (18)). Учитывая существование силовой функции Ф, в силу (23) получаем

т. е. элементарная работа равна полному дифференциалу силовой функции

Таким образом, при дгижениях консервативной системы элементарная работа выражается полным дифференциалом некоторой функции, и поэтому

Гиперповерхности

называют поверхностями уровня.

В формуле (26) символы и означают значения Ф в моменты начала и конца движения. Поэтому при любом движении системы, началу которого соответствует точка, расположенная на поверхности уровня

а концу - точка на поверхности уровня

работа подсчитываете по формуле (26). Следовательно, при движении консервативней системы работа зависит не от пути, а лишь от того, на каких поверхностях уровня началось и закончилось движение. В частности, работа равна нулю, если движение начинается и заканчивается на одной и той же поверхности уровня.

Понятие «поле» в физике встречается очень часто. С формальной точки зрения определение поля можно сформулировать следующим образом: если в каждой точке пространства задано значение некоторой величины, скалярной или векторной, то говорят, что задано соответственно скалярное или векторное поле данной величины .

Более конкретно можно утверждать, что если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то она находится в поле сил или силовом поле .

Силовое поле называется центральным , еслинаправление силы в любой точке проходит через некоторый неподвижный центр, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра.

Силовое поле называется однородным , если во всех точках полясилы , действующие на частицу, одинаковы по величине и направлению.

Стационарным называется не изменяющееся во времени поле.

Если поле стационарно , то возможно, что работа сил поля над некоторой частицей не зависит от формы пути , по которому двигалась частица и полностью определяется заданием начального и конечного положения частицы . Силы поля , обладающие таким свойством, называют консервативными . (Не путать с политической ориентацией партий…)

Важнейшее свойство консервативных сил заключается в том, что их работа на произвольном замкнутом пути равна нулю . Действительно, замкнутый путь всегда можно произвольным образом разделить двумя точками на некоторые два участка – участок I и участок II. При движении вдоль первого участка в одном направлении совершается работа . При движении по этому же участку в обратном направлении совершается работа – в формуле для работы (3.7) каждый элемент перемещения заменяется на противоположный по знаку: . Поэтому и интеграл в целом меняет знак на противоположный.

Тогда работа на замкнутом пути

Поскольку по определению консервативных сил их работа не зависит от формы траектории, то . Следовательно

Верно и обратное утверждение: если работа на замкнутом пути равна нулю, то силы поля являются консервативными . Оба признака могут быть использованы для определения консервативных сил.

Работа силы тяжести вблизи поверхности Земли находится по формуле А=mg(h 1 -h 2) и, очевидно, не зависит от формы пути. Поэтому силу тяжести можно считать консервативной. Это является следствием того, что поле силы тяжести в пределах лаборатории с очень высокой точностью можно считать однородным. Таким же свойством обладает любое однородное стационарное поле , а значит, силы такого поля являются консервативными . В качестве примера можно вспомнить об электростатическом поле в плоском конденсаторе, которое также является полем консервативных сил.

Силы центрального поля также консервативны . Действительно, их работа на перемещении вычисляется как

силовое поле

часть пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует определенная по величине и направлению сила, зависящая от координат этой точки, а иногда и от времени. В первом случае силовое поле называют стационарным, а во втором - нестационарным.

Силовое поле

часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила, зависящая или только от координат x, у, z этой точки, или же от координат x, у, г и времени t. В первом случае С. п. называется стационарным, а во втором ≈ нестационарным. Если сила во всех точках С. п. имеет одно и то же значение, т. е. не зависит ни от координат, ни от времени, то С. п. называется однородным. С. п., в котором работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нём материальную частицу, зависит только от начального и конечного положения частицы и не зависит от вида её траектории, называется потенциальным. Эту работу можно выразить через потенциальную энергию частицы П (х, у, z) равенством А = П (x1, y1, z

≈ П (x2, y2, z

Где x1, y1, z1 и x2, y2, z2 ≈ координаты начального и конечного положений частицы соответственно. При движении частицы в потенциальном С. п. под действием только сил поля имеет место закон сохранения механической энергии, позволяющий установить зависимость между скоростью частицы и сё положением в С. п.

Примеры потенциального С. п.: однородное поле силы тяжести, для которого П = mgz, где т ≈ масса частицы, g ≈ ускорение силы тяжести (ось z направлена вертикально вверх); ньютоново поле тяготения, для которого П = ≈ fm/r, где r ≈ расстояние частицы от центра притяжения, f ≈ постоянный для данного поля коэффициент.

Технически различают:

• стационарные силовые поля , величина и направление которых могут зависеть исключительно от точки пространства (координат x, у, z), и
• нестационарные силовые поля , зависящие также от момента времени t.

• однородное силовое поле , для которого сила, действующая на пробную частицу, одинакова во всех точках пространства и

• неоднородное силовое поле , не обладающее таким свойством.

Наиболее простым для исследования является стационарное однородное силовое поле, но оно же представляет собой и наименее общий случай.

Силовое поле

Силовое поле - многозначный термин, употребляемый в следующих значениях:

• Силовое поле - векторное поле сил в физике;
• Силовое поле - некий невидимый барьер, основная функция которого - защита некоторой области или цели от внешних или внутренних проникновений.

Силовое поле (фантастика)

Силовое поле или силовой щит или защитный щит - широко распространенный термин в фантастической и научно-фантастической литературе, а также в литературе жанра фэнтэзи, который обозначает некий невидимый барьер, основная функция которого - защита некоторой области или цели от внешних или внутренних проникновений. Эта идея может базироваться на концепции векторного поля. В физике этот термин также имеет несколько специфических значений (см. Силовое поле).

Силовым полем называется физическое пространство, удовлетворяющее тому условию, что на точки механической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения точек и времени (но не от их скоростей).

Силовое поле , силы которого не зависят от времени, называется стационарным (примерами силового поля могут служить поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости ).

Потенциальное силовое поле.

Стационарное силовое поле называется потенциальным , если работа сил поля, действующих на механическую систему, не зависит от формы траекторий ее точек и определяется только их начальным и конечным положениями.Эти силы называются силами, имеющими потенциал, или консервативными силами.

Докажем, что приведенное условие выполняется, если существует однозначная функция координат:

называемая силовой функцией поля, частные производные от которой по координатам любой точки M i (i=1, 2...n) равны проекциям приложенной к этой точке силы на соответствующие оси, т. е

Элементарную работу силы, приложенной к каждой точке, можно определить по формуле:

Элементарная работа сил, приложенных ко всем точкам системы, равна:

Пользуясь формулами получаем:

Как видно из этой формулы, элементарная работа сил потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции.Работа сил поля на конечном перемещении механической системы равна:

т. е. работа сил, действующих на точки механической системы в потенциальном поле, равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях системы и не зависит от формы траекторий точек этой системы. Положениях системы и не зависит от формы траекторий точек этой системы. Из этого следует, что силовое поле, для которого существует силовая функция, действительно является потенциальным .